SUR LA LIMITE ADIABATIQUE DES FONCTIONS ÊTA ET ZÊTA

SERGIU MOROIANU

Résumé: Dans cette note, on démontre l’existence de la limite adiabatique de la fonction η(s) d’un opérateur sur l’espace total d’un fibration au dessus de S^{1}, construit à partir d’une famille d’opérateurs différentiels inversibles d’ordre 1. Nous identifions cette limite à l’holonomie d’une famille méromorphe de connexions dans le fibré trivial. Dans le même contexte, la fonction ζ diverge. On donne une formule pour les deux premiers coefficients du développement asymptotique. Le premier résultat reste vrai pour une famille non-inversible si on se restreint à s = 0. Dans le cas d’une famille d’opérateurs de Dirac, on retrouve la formule d’holonomie de Bismut-Freed.

On the adiabatic limit of the êta and zêta functions

Abstract: In this note we prove the existence of the adiabatic limit of the η(s) function of an operator on the total space of a fibration over S^{1}, constructed from an invertible family of first-order differential operators. We identify this limit as the holonomy of a meromorphic family of connections in the trivial bundle. In the same context, the ζ function diverges. We give a formula for the first two terms of the asymptotic expansion. The first result remains true for a non-invertible family if we restrict ourselves to s = 0. For a family of Dirac operators, we retrieve the holonomy formula of Bismut-Freed.

Soit N une variété compacte sans bord, E un fibré Hermitien sur N et δ un opérateur différentiel elliptique d’ordre 1 agissant sur les sections de E. Nous définissons la fonction zêta normalisée de δ par la formule

\overline{ζ}(δ, s) := Γ (\frac{s}{2}) ∑_{0≠λ∈Spec(δ^{∗}δ)} |λ|^{− \frac{s}{2}} + dim ker(δ).

Si δ est un opérateur auto-adjoint, on définit également

η(δ, s) := \frac{Γ (\frac{1+s}{2})}{\sqrt{π}} ∑_{0≠λ∈Spec(δ)} sgn(λ)|λ|^{−s} + dim ker(δ).

Ces deux fonctions sont holomorphes dans le demi-plan {Re(s) > dim N}, et se prolongent analytiquement à C avec des pôles simples aux entiers k ≤ dim N. Nos définitions diffèrent des définitions usuelles par des facteur Γ qui seront essentiels pour assurer la validité de nos résultats en dehors de s = 0. Par Atiyah-Patodi-Singer [1], la fonction η(δ, .) est holomorphe en s = 0, et sa valeur en 0 coïncide avec l’invariant η. Soulignons que nos résultats ne dépendent pas de la régularité de la fonction η(δ, .) en s = 0, sauf dans le cas élémentaire où N = S^{1}.

Soit N une variété compacte, qui est l’espace total d’une fibration de base compacte M. Dans la suite, nous considérons seulement la restriction de cette fibration à un cercle plongé dans M. On pourra donc supposer que M = S^{1}. Soit E = E^{+} ⊕ E^{−} un fibré Hermitien Z_{2}-gradué sur N, soit E = E^{+} ⊕E^{−} le fibré Z_{2}-gradué sur S^{1}, dont les fibres sont les sections dans la fibre de E = E^{+} ⊕ E^{−}. Soit D une famille C^{∞} d’opérateurs elliptiques d’ordre 1 paramétrée par S^{1}, qui envoie E^{+} dans E^{−}. Supposons fixée une connexion sur la fibration N → S^{1}, une métrique g sur les fibres, et des connexions Hermitiennes ∇ sur E^{±}. Pour Y ∈ T_{x}S^{1}, soit Ỹ le relèvement horizontal de Y. On considère l’opérateur différentiel

Date: November 21, 2001.

2000 Mathematics Subject Classification. 58J28, 58J52.

˜∇_{Y} := ∇Ỹ + \frac{1}{4}Tr(LỸ g),

qui agit sur les sections de E sur N. Ici Tr est la trace, et LỸ g est la dérivée de Lie du tenseur vertical g, qui est tensorielle en Y. Notons que ˜∇_{Y} préserve le produit Hermitien L^{2} sur les fibres.

Soit dσ^{2} la métrique canonique de volume 2π sur S^{1} et soit ∂_{σ} le champ de vecteurs unitaires sur S^{1} positivement orienté. Pour t > 0, soit δ_{t} l’opérateur autoadjoint agissant sur les sections de E sur N

(1)  δ_{t} := [ \begin{matrix}−ti ˜∇_{∂_{σ}} & D^{∗} \\ D & ti ˜∇_{∂_{σ}} \end{matrix} ] .

Un tel opérateur apparaît par exemple dans [2], où les fibres de N → S^{1} sont de dimension paire, orientées et admettent une structure spin, où E est le fibré Z_{2}-gradué des spineurs de la fibre, et où la connexion ∇ vient de la connexion de Levi-Civita. Dans ce cas, δ_{t} est l’opérateur de Dirac sur N associé à la métrique

g_{t}^{N} := g + \frac{dσ^{2}}{t^{2}} .

Nous souhaitons calculer la limite quand t → 0 des invariants spectraux définis précédemment. On dit aussi qu’on prend la limite adiabatique de ces invariants.

Soit f(t, s) une famille de fonctions méromorphes en s ∈ C, qui est indexée par t ∈ [0, ∞). Nous dirons que f(t, .) converge vers f(0, .) quand t → 0 si pour tout s ∈ C et tout k ∈ Z, le coefficient de Laurent c_{k}(t, s) de f(t, .) en s converge vers c_{k}(0, s).

Notre premier résultat concerne la limite adiabatique de la fonction \overline{ζ}(δ_{t}, s). Théorème 1. Supposons que la famille {D_{x}}_{x∈S^{1}} est inversible. Alors la famille de fonctions méromorphes t\overline{ζ}(δ_{t}, s) converge vers

\frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{S^{1}} \overline{ζ}(D, s − 1)dσ.

De plus, la famille \overline{ζ}(δ_{t}, s) admet un développement asymptotique en puissances de t quand t → 0, dont le terme constant s’annule.

Soit maintenant det D le fibré déterminant de la famille D. C’est un fibré en droites complexe sur S^{1}, qui est donc trivial. Nous pouvons trouver une trivialisation de det D de la manière suivante (voir [2]): il existe des fibrés triviaux de dimension finie U^{+}, U^{−} sur S^{1} et des morphismes de fibrés A_{12} : U^{+} → E^{−}, A_{21} : E^{+} → U^{−}, A_{22} : U^{+} → U^{−}, tels que la famille d’opérateurs

D_{U} := [ \begin{matrix}D & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} ]

soit inversible. Nous munissons U^{±} des connexions triviales.

Pour chaque α > 0, soit V_{α} := {x ∈ S^{1}; α ∉ Spec(D^{∗}D)}. Au dessus de V_{α} soit E_{x}^{±} = E_{x,<α}^{±} ⊕ E_{x,>α}^{±} la décomposition de E_{x}^{±} dans les sous-espaces engendrés par les sections propres de D^{∗}D et de DD^{∗}, de valeur propre inférieure, respectivement supérieure à α. On peut alors demander qu’il existe un recouvrement V de S^{1} par des ensembles V_{α_{1}}, …, V_{α_{k}} tels que pour x ∈ V_{α} ∈ V, D_{U} soit égal à D sur E_{x,>α}^{+}, et que D_{U}(E_{x,<α}^{+} ⊕U^{+}) = E_{x,<α}^{−} ⊕U^{−}.

Le fibré déterminant muni de la connexion de Bismut-Freed [2] est alors isomorphe au fibré trivial en droites complexes, muni de la connexion d+A(0), ou A(0) est la régularisation en s = 0 de la famille méromorphe de 1-formes

(2)  A(D_{U}, s) := Γ (1 + \frac{s}{2}) Tr((D_{U}^{∗}D_{U})^{− \frac{s}{2}} D_{U}^{−1} ˜∇(D_{U})).

Dans le cas où D est inversible, nous obtenons une famille canonique A(D, s) en prenant U^{±} = 0. Théorème 2. Si D est inversible, alors la famille de fonctions méromorphes iπη(δ_{t}, s) admet un développement de Taylor en t autour de t = 0, dont le premier terme est ∫_{S^{1}} A(D, s).

Un calcul simple montre que le théorème précédent appliqué au coefficient c_{0}(·, 0) généralise pour toute famille d’opérateurs différentiels elliptiques inversibles d’ordre 1 le théorème d’holonomie conjecturé en [8] et prouvé dans [2] pour une famille d’opérateurs de Dirac. En effet, l’holonomie de d + A(0) n’est autre que

exp (− ∫_{S^{1}} A(0)) .

L’idée de la preuve des Théorèmes 1 et 2 est d’utiliser l’algèbre d’opérateurs pseudodifférentiels adiabatiques Ψ_{a}(N) [4], [7]. Dans le cas non-inversible, l’opérateur δ_{t}^{U}, construit en remplaçant D par D_{U} dans (1), n’appartient pas à cette algèbre. On peut néanmoins trouver une perturbation δ_{t}^{U} dans Ψ_{a}(N), et montrer que le théorème reste vrai pour le coefficient constant autour de s = 0. En effet, ∫_{S^{1}} c_{0}(A(D_{U}), 0) est bien défini modulo 2πiZ. Théorème 3. Dans le cas non-inversible, la limite lim_{t→0}(exp(−iπc_{0}(η(δ_{t}), 0))) est égale à l’holonomie de la connexion de Bismut-Freed. Esquisse de preuve: Pour simplifier, on considère seulement le cas où la famille D est inversible. Soit Ψ_{a}(N, E) l’algèbre des familles d’opérateurs indexés par t ∈ [0, ∞) de la forme P (t, x, y, tD_{x}, D_{y}), où x, y sont des coordonnées locales sur S^{1}, respectivement sur les fibres. La construction rigoureuse de cette algèbre (voir [4]) est réalisée dans le cadre du programme de Melrose [5]. En l’occurence, δ_{t} appartient à cette algèbre en tant qu’opérateur inversible, y compris pour t = 0. Cette algèbre admet deux filtrations, l’une par l’ordre opératoriel et l’autre par le négatif de l’ordre d’annulation en t = 0. Soit Q ∈ Ψ_{a}^{1,0}(N) un opérateur positif. Alors la famille des puissances complexes Q^{s} appartient à Ψ_{a}^{s,0}(N) pour tout s ∈ C [3], [7]. De plus, si A(s) est une famille entière d’opérateurs adiabatiques, alors Tr(Q^{−s}A(s)) ∈ t^{−1}C^{∞}([0, ∞), M), où par M nous désignons l’espace des fonctions méromorphes avec des pôles simples en dim(N), dim(N) − 1, . . ..

Le quotient Ψ_{a}^{Z,0}(N)/Ψ_{a}^{Z,−∞}(N) est isomorphe (non canoniquement) à l’espace des séries formelles A = ∑_{i=0}^{∞} t^{i}A_{i}(x, y, τ, D_{y}) de familles sur S^{1} d’opérateurs suspendus au sens de Melrose [6], munies d’une déformation du produit fibre à fibre:

(3)  A ∗ B = AB + it\frac{∂A}{∂τ} ˜∇_{∂_{σ}}B + O(t^{2}).

De plus, si P ∈ Ψ_{a}^{− dim(N)−ϵ,0}(N) admet le développement P ∼ ∑_{i=0}^{∞} t^{i}P_{i}, alors

Tr(P) ∼_{t→0} ∑_{i=0}^{∞} ∫_{T^{∗}S^{1}} t^{i}Tr_{v}(P_{i})\frac{dτ ∧ dσ}{2πt} ,

où Tr_{v} désigne la trace sur les fibres, et dτ ∧ dσ est la forme symplectique canonique sur T^{∗}S^{1}. On écrit maintenant

δ_{t} ∼_{t→0} [ \begin{matrix}−τ & D^{∗} \\ D & τ \end{matrix} ] , δ_{t}^{2} ∼_{t→0} [ \begin{matrix}D^{∗}D + τ^{2} & −it ˜∇_{∂_{σ}}(D^{∗}) \\ it ˜∇_{∂_{σ}}(D) & DD^{∗} + τ^{2} \end{matrix} ]

et donc

η(δ_{t}, s) = \frac{Γ (\frac{1+s}{2})}{\sqrt{π}}Tr((δ_{t}^{2})^{− \frac{s+1}{2}} δ_{t})

∼_{t→0} \frac{Γ (\frac{1+s}{2})}{\sqrt{π}} \frac{1}{2πt} ∫_{T^{∗}S^{1}} Tr_{v} ([ \begin{matrix}D^{∗}D + τ^{2} & −it ˜∇_{∂_{σ}}(D^{∗}) \\ it ˜∇_{∂_{σ}}(D) & DD^{∗} + τ^{2} \end{matrix} ]^{− \frac{s+1}{2}}

[ \begin{matrix}−τ & D^{∗} \\ D & τ \end{matrix} ]) dτ ∧ dσ,

tous les produits étant pris dans le sens de (3). De la même manière,

\overline{ζ}(δ_{t}, s) = Γ (\frac{s}{2}) Tr ((δ^{2})^{− \frac{s}{2}} )
∼_{t→0} Γ (\frac{s}{2}) \frac{1}{2πt} ∫_{T^{∗}S^{1}} Tr_{v} [ \begin{matrix}D^{∗}D + τ^{2} & −it ˜∇_{∂_{σ}}(D^{∗}) \\ it ˜∇_{∂_{σ}}(D) & DD^{∗} + τ^{2} \end{matrix} ]^{− \frac{s}{2}} dτ ∧ dσ.

Ces formules montrent que les fonctions η et \overline{ζ} admettent des développements asymptotiques vers t = 0 avec un terme singulier t^{−1}. Notons l’identité

(4)  f(s) := ∫_{ℝ}(1 + τ^{2})^{−s}dτ = \frac{\sqrt{π}Γ (s − \frac{1}{2})}{Γ(s)}.

Le coefficient de t^{−1} dans \overline{ζ}(δ_{t}, s) est

\frac{Γ (\frac{s}{2})}{π}f (\frac{s}{2}) ∫_{S^{1}} Tr(D^{∗}D)^{− \frac{s−1}{2}} dσ,

donc par (4) on obtient la formule du Théorème 1. Passons maintenant à η(δ_{t}, s). Il est clair que Tr_{v}(D^{∗}D + τ^{2})^{− \frac{s+1}{2}} τ = Tr_{v}(DD^{∗} + τ^{2})^{− \frac{s+1}{2}} τ, donc le terme divergent s’annule. Le terme constant se réduit à

2\frac{Γ (\frac{1+s}{2})}{\sqrt{π}} \frac{1}{2πt} ∫_{T^{∗}S^{1}} Tr_{v} (−\frac{s + 1}{2}(DD^{∗} + τ^{2})^{− \frac{s+3}{2}} it ˜∇_{∂_{σ}}(D)D^{∗}) dτ ∧ dσ

= \frac{iΓ (\frac{1+s}{2}) (−s − 1)f (\frac{s+3}{2})}{2π^{3/2}} ∫_{S^{1}} Tr_{v} ((D^{∗}D)^{− \frac{s}{2}} D^{−1} ˜∇_{∂_{σ}}(D)) dσ.

En utilisant (4), la dernière expression donne le Théorème 2. □ Les démonstrations complètes des résultats annoncés ci-dessus paraîtront ultérieurement.

Remerciements: Je remercie Richard Melrose de m’avoir proposé ce sujet, Jean-Michel Bismut de m’avoir montré comment démontrer le Théorème 3, et Andrei Moroianu et Nicuşor Dan pour des contributions concernant l’opérateur de Dirac et la fonction Gamma.

References

[1] M.F. Atiyah, V.K. Patodi, and I.M. Singer. Spectral asymmetry and riemannian geometry. iii. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1976.

[2] J.-M. Bismut and D.S. Freed. The analysis of elliptic families II: Dirac operators, eta invariants and the holonomy theorem of Witten. Commun.Math.Phys., 107:103–163, 1986.

[3] B. Bucicovschi. An extension of the work of V. Guillemin on complex powers and zeta functions of elliptic pseudodifferential operators. Proc. Amer. Math. Soc., 127(10):3081–3090, 1999.

[4] Rafe R. Mazzeo and Richard B. Melrose. The adiabatic limit, Hodge cohomology and Leray’s spectral sequence for a fibration. J. Differential Geom., 31(1):185–213, 1990.

[5] R.B. Melrose. Pseudodifferential operators, corners and singular limits. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Kyoto,1990), pages 217–234, Tokyo, 1991. Math.Soc.Japan.

[6] R.B. Melrose. The eta invariant and families of pseudodifferential operators. Math. Res. Letters, 2:541– 561, 1995.

[7] S. Moroianu. Residue functionals on the algebra of adiabatic pseudo-differential operators. PhD thesis, MIT, 1999.

[8] E. Witten. Global gravitational anomalies. Commun.Math.Phys., 100:197–229, 1985.

Institutul de Matematică al Academiei Române, P.O. Box 1-764, RO-70700 Bucarest, Roumanie

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