METODE COMBINATORICE, OMOLOGICE SI ARITMETICE IN STUDIUL IDEALELOR POLINOMIALE (contract PNII-IDEI-PCE nr. 51/28.09.2007, cod CNCSIS 304/2007)

Descriere succinta a proiectului de cercetare

Polinoamele reprezinta un obiect central de studiu in domenii importante ale 
matematicii cum ar fi algebra comutativa, geometria algebrica, aritmetica si 
teoria numerelor. Acest proiect de cercetare isi propune studierea idealelor 
polinomiale prin mijloace provenind din trei directii diferite, foarte 
importante, in cercetarea matematica actuala :

1) Aspecte combinatoriale si computationale ale algebrei comutative

2) Metode de algebra omologica in studiul rezolutiilor idealelor polinomiale

3) Metode de factorizare aritmetice si combinatoric-algebrice in inele de 
polinoame.

Obiectivele acestui proiect de cercetare, corespunzatoare celor trei directii 
de cercetare mentionate anterior,sunt urmatoarele :

1) - Calculul unor invarianti algebrici (regularitate Castelnuovo-Mumford, 
profunzime etc.) pentru clase speciale de ideale monomiale si obtinerea 
unor margini liniare pentru regularitatea Castelnuovo-Mumford a puterilor 
unui ideal de tip Borel

   - Studiul proprietatilor "weak" si "strong" Lefschetz pentru ideale 
polinomiale de tip intersectie completa

   - Caracterizarea proprietatii Koszul a inelului graduat asociat algebrei 
de incidenta a unei multimi partial ordonate

   - Descrierea unor clase de ideale monomiale ale caror numere Betti sa fie 
independente de caracteristica corpului de coeficienti ai algebrei 
polinomiale prin intermediul modulelor de omologie Koszul

   - Studiul modulelor de omologie Koszul pentru module Cohen-Macaulay si 
Gorenstein
 
2) - Aplicarea tehnicilor de fibrate vectoriale si de categorii derivate in 
studierea ecuatiilor polinomiale ale subvarietatilor de codimensiune 2 ale 
unui spatiu proiectiv prin intermediul sectiunilor hiperplane generale 
 
   - Aplicarea acestor tehnici in probleme inrudite privind 
extinderea/restrictia fibratelor vectoriale pe spatii proiective

3) - Studiul functiilor multiplicative definite pe inelul polinoamelor cu 
coeficienti intregi si aplicatii in problemele de factorizare

    - Obtinerea unor conditii de ireductibilitate si separabilitate pentru 
polinoame cu coeficienti intregi si pentru polinoame in mai multe 
nedeterminate peste corpuri arbitrare.

Activitatile corespunzatoare obiectivelor mentionate mai sus sunt:
documentare stiintifica, vizite de documentare-cercetare, cercetare
stiintifica, editare si diseminare a rezultatelor obtinute.

   - Obiectivele mentionate la punctele 1) si 2) de mai sus au fost realizate
integral pe parcursul primelor trei faze ale proiectului (2007, 2008 si 2009).
   - Obiectivele mentionate la punctul 3) corespund ultimei faze a proiectului
(2010), indeplinirea acestora fiind in curs de finalizare.

Director de proiect

Echipa de cercetare de la Institutul de Matematica "Simion Stoilow" al Academiei Romane

Gradul de implicare a tinerilor cercetatori

   - La inceputul acestui proiect, trei dintre membrii echipei noastre de cercetare
(M. Cimpoeas, D. Stamate si M. Epure) erau doctoranzi. Tematica celor trei
teze de doctorat se incadreaza in obiectivele acestui proiect. Atingerea acestor 
obiective presupune un efort multidisciplinar, necesitand metode de algebra 
comutativa combinatorica, algebra omologica, aritmetica si geometrie 
algebrica. Componenta si competentele stiintifice ale membrilor echipei de
cercetare reflecta caracterul multidisciplinar al proiectului.
   - M. Cimpoeas a obtinut titlul de doctor in Matematici in anul 2008, iar
D. Stamate si-a sustinut teza de doctorat in iulie 2009. De asemenea, M. Epure
se afla intr-un stadiu avansat privind elaborarea tezei.
   - Contributia tinerilor cercetatori la obtinerea rezultatelor acestui proiect
a fost substantiala, fapt reflectat in calitatea articolelor elaborate de acestia,
dupa cum se poate vedea in lista de lucrari de mai jos.

Principalele rezultate obtinute

   - Calcularea unor invarianti algebrici (regularitate Castelnuovo – Mumford,
profunzime si dimensiune) pentru o clasa importanta de ideale monomiale, si anume
idealele de produse mixte.
   - Caracterizarea idealelor monomiale de tip Borel, folosind notiunea de
ideal monomial stabil. Ca o aplicatie, se obtine o margine superioara pentru
regularitatea Castelnuovo – Mumford a produsului a doua ideale de tip Borel.
   - Rezultate legate de Conjectura Stanley privind profunzimea Stanley a
modulelor monomiale: a) demonstrarea Conjecturii Stanley pentru caturile
monomiale ale inelelor polinomiale in cel mult 5 nedeterminate; b) un
algoritm de calcul al profunzimii Stanley pentru catul a doua ideale
monomiale; c) estimarea profunzimii Stanley pentru ideale monomiale
intersectie completa; d) demonstrarea Conjecturii Stanley pentru ideale
generate de 3 monoame si pentru algebra cat corespunzatoare; e) estimarea
profunzimii Stanley pentru puterile idealului omogen maximal al unui inel
polinomial; f) demonstrarea Conjecturii Stanley pentru intersectiile de
doua ideale monomiale ireductibile si pentru caturile inelelor polinomiale
prin intersectii de 3 ideale monomiale ireductibile.
   - O analiza a Conjecturii lui Moreno privind idealul initial generic al
unui ideal omogen intersectie completa al unui inel polinomial, incluzand
o demonstratie a conjecturii pentru ideale de acest tip cu 3 generatori.
   - Introducerea unei noi clase de algebre, si anume algebrele de incidenta
reduse si caracterizarea idealelor lor la dreapta monomiale care au
proprietatea Koszul. Aceasta caracterizare unifica si extinde trei
caracterizari obtinute anterior pentru: a) algebrele de incidenta Koszul
(Polo, Woodcock); b) inelele afine semigrupale Koszul (Peeva – Reiner –
Sturmfels); c) idealele monomiale libere de patrate cu rezolutii libere
(Eagon – Reiner, Herzog – Hibi, Herzog – Reiner – Welker).
   - Generalizarea corespondentei Horrocks de la fibrate vectoriale pe
spatii proiective la fascicule coerente, ceea ce include cazul fasciculelor
de ideale ale subvarietatilor spatiilor proiective.
   - Caracterizarea fibratelor vectoriale pe spatii proiective ce pot fi
extinse stabil la spatii proiective de dimensiune oricat de mare si
obtinerea unei noi versiuni efective a Teoremei Turnului Babel.
   - Demonstrarea unei Conjecturi a lui H. Brenner privind existenta
fibratelor de relatii monomiale pe spatii proiective.
   - Criterii de ireductibilitate si separabilitate pentru anumite
clase de polinoame cu coeficienti intregi, sau cu coeficienti in
corpuri arbitrare.
   - Caracterizarea anumitor clase de corpuri patratice reale avand
inelul de intregi principal.

Cercetare sprijinita financiar in 2007

Cercetare sprijinita financiar in 2008

Cercetare sprijinita financiar in 2009

Cercetare sprijinita financiar in 2010

Engleza